Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，且∠PCA=∠PCB．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）设正△ABC的中心为O，△PAB的重心为G，求证：OG∥平面PAC．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在△PAC与△PBC中，
∵AC=BC，
∴∠PCA=∠PCB，PC=PC
∴△PAC≌△PBC，
∴PA=PB，
设AB中点位D，连接CD，PD．
∵AC=BC，PA=PB，
∴CD⊥AB，PD⊥AB，CD，PD?平面PCD，
∴AB⊥平面PCD
∴PC⊥AB
（Ⅱ）∵O是正△ABC的中心，G是△PAB的重心，
∴点O，G分别在直线PD，CD上，且
∴OG∥PC
因为OG?平面PAC，PC?平面PAC，
所以OG∥平面PAC
分析：（Ⅰ）因为AC=BC，且∠PCA=∠PCB，PC=PC所以△PAC≌△PBC，所以AC=BC，PA=PB则有CD⊥AB，PD⊥AB，CD，PD?平面PCD
所以AB⊥平面PCD则可得PC⊥AB．
（2）由题意得O是正△ABC的中心，G是△PAB的重心所以所以OG∥PC可得OG∥平面PAC．
点评：证明线面垂直时是以相似为桥梁证明线段相等，再利用已知直线与面内的两条相交直线垂直即可证明，证明线面平行时重心的比例关系是难点，根据这个关系得到线线平行进而得到线面平行．（题中考查的也是学生常忽略的地方）