Question

数列{a_n}，若满足点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1上，并且a₂+a₅=9．
（1）求证数列{a_n}为等差数列，并求出通项a_n；
（2）若bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1上，知a_n+1=a_n+1，所以{a_n}是公差d=1的等差数列，再由a₂+a₅=9．解得a₁=2．由此能求出a_n．
（2）由a_n=n+1，知bn=

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由裂项求和法能求出S_n．

解答：证明：（1）点（a_n，a_n+1）在直线y=x+1上，
∴a_n+1=a_n+1，
∴{a_n}是公差d=1的等差数列，
∵a₂+a₅=9．
∴a₁+1+a₁+4=9，
解得a₁=2．
∴数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，
a_n=2+（n-1）×1=n+1．
解：（2）∵a_n=n+1，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

2

-

1

n+1

=

n-1

2n+2

．

点评：本题考查等差数列的证明和通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．