Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，na_n+1=2（n十1）a_n+n（n+1），（n∈N^*），
（I）若，试证明数列{b_n}为等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和Sn．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用数列递推式，证明b_n+1=2b_n，即可证明数列{b_n}为等比数列；
（II）利用，可数列{a_n}的通项公式a_n，利用错位相减法可求数列的和．
解答：（Ⅰ）证明：∵na_n+1=2（n+1）a_n+n（n+1），∴，…（2分）
∴，即b_n+1=2b_n，
又b₁=2，所以{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴，∴，…（8分）
∴=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）=．…（10分）
令，
则，
两式相减得：，．…（12分）
∴．…（13分）
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，正确运用求和方法是关键．