Question

已知函数f（x）=3^x的定义域为R，满足f（a+2）=18，函数g（x）=λ3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）为减函数，求实数λ的取值范围；
（3）若函数g（x）的最大值为

1

2

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）由f（a+2）=18列出关于a的方程，利用对数函数的性质求出a；
（2）把a的值代入g（x）的解析式，设0≤x₁＜x₂≤1，由减函数的定义知g（x₂）-g（x₁）＜0在[0，1]上恒成立，用分析法和指数函数的性质求出λ的范围；
（3）设t=2^x，求出t∈[1，2]，则g（x）转化为关于t的二次函数，即该函数在[1，2]上的最大值为

1

2

，因对称轴含有参数，需要讨论与区间的关系，故分三种情况并结合二次函数的图象求解．

解答：解：（1）由f（a+2）=18，得3^a+2=18，即3^a=2，所以a=log₃2（2分）
（2）把a=log₃2代入，解得：g（x）=λ•3^ax-4^x=λ•2^x-4^x，设0≤x₁＜x₂≤1，
∵g（x）在[0，1]上是单调递减函数，
∴g（x₂）-g（x₁）＜0在[0，1]上恒成立（6分）
即(2x2-2x1)(λ-2x2-2x1)＜0在[0，1]上恒成立，
即λ＜2x2+2x1恒成立（8分）
∵2x2+2x1＞20+20=2，
∴实数λ的取值范围是λ≤2（10分）
（3）设t=2^x，则t∈[1，2]，
则φ（t）=-t²+λt在t∈[1，2]上的最大值为

1

2

（11分）
∴φ（t）的对称轴t=

λ

2

，分三种情况：
①当

λ

2

＞2，即λ＞4时，由φ(2)=-4+2λ=

1

2

，
解得λ=

9

4

（舍去）（12分）
②当

λ

2

＜1，即λ＜2时，由φ(1)=-1+λ=

1

2

，
解得λ=

3

2

（13分）
③当1≤

λ

2

≤2，即2≤λ≤4时，由φ(

λ

2

)=

λ2

4

=

1

2

，
解得λ=±

2

（均舍去）（15分）
综上知，实数λ的值为

3

2

（16分）

点评：本题是难度大的有关函数性质的综合题，考查了函数的单调性的定义应用和函数最值及其几何意义，用了数形结合思想、分析法和换元法．