Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈[0，]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂），且f(1)=a＞0，
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)证明f（x）是周期函数；
(Ⅲ)记a_n=f（2n+），求。

Answer 1

(Ⅰ)解：因为对x₁，x₂∈［0，］，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂），
所以，

f（1）=a＞0， 
∴；
(Ⅱ)证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，
故f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R，
又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），x∈R，
∴f（-x）=f（2-x），x∈R，
将上式中-x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R，
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期；
(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f（x）≥0，x∈［0，1］，
∵
，
，
∴，
∵f（x）的一个周期是2，
∴f（2n+）=f（），因此a_n=，
∴。