Question

圆x²+y²+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称，②OP⊥OQ．
（1）求k值；                  
（2）求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）因为曲线方程为圆的方程，圆上的P与Q关于直线对称得到直线过圆心，把圆心坐标代入即可求出k；
（2）又因为PQ⊥直线kx-y+4=0得到直线PQ的斜率为-

1

k

，然后联立直线与圆的方程，利用OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0，再借助于韦达定理，即可写出直线的方程．

解答：解：（1）曲线x²+y²+x-6y+3=0可变为：(x+

1

2

)2+(y-3)2=(

5

2

)2
得到圆心（-

1

2

，3），半径为

5

2

；
因为圆上有两点P、Q关于直线对称，得到圆心在直线上，
把（-

1

2

，3）代入到kx-y+4=0中求出k=2
（2）直线PQ的斜率=

-1

k

=-

1

2

；设PQ方程为y=-

1

2

x+b
联立得

x2+y2+x-6y+3=0 y=- 1 2 x+b

，代入整理得

5

4

x2+(4-b)x+b2-6b+3=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

5

4

x1x2-

b

2

(x1+x2)+b2=0
∴b2- 6b+3-

2

5

(b2-4b )+b2=0
∴b=

3

2

或b=

5

4

所以直线PQ的方程为：y=-

1

2

x+

3

2

或y=-

1

2

x+

5

4

，经验证符合题意．

点评：本题的考点是关于点、直线对称的圆的方程，主要考查考查学生理解圆的对称轴为过直径的直线，会根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，会根据条件写出直线的一般式方程．注意条件的等价转化．