Question

已知函数f(x)=log

1

3

(3x+1)+

1

2

abx为偶函数，g(x)=2x+

a+b

2x

为奇函数，其中a、b为常数，则（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=

-1

．

Answer 1

分析：由奇偶函数的定义列出关于a、b的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方程的根，进而求出复数a和b，再利用和与积的值和a³=b³=1求出a²+b²，a³+b³，a⁴+b⁴等，找出具有周期性T为3，再利用周期性求出式子的和．

解答：解：∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴

f(1)=f(-1) g(0)=0

，
即

1 2 ab+ log (3+1) 3 = - 1 2 ab+ log ( 1 3 +1) 3 1+a+b=0

，
解得

ab=1 a+b=-1

；
∴复数a、b是方程x²+x+1=0的两个根，
解得，a=-

1

2

+

3

2

i，b=-

1

2

-

3

2

i；
∴a³=b³=1
已知a+b=-1，ab=1；则a²+b²=（a+b）²-2ab=-1，a³+b³=2，
同理可求a⁴+b⁴=-1，a⁵+b⁵=-1，a⁶+b⁶=2，…，归纳出有周期性且T=3，
∴（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=99[（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）]+（a+b）=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了奇（偶）函数的定义和复数的运算，再求复数的值时用到转化思想，求和式的值时利用a³=b³=1找出每项的和的周期，利用周期性求所求和式的值．