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精英家教网已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，点M（2，3），N（2，-3）为C上两点，斜率为
1
2
的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）．
（I）求四边形MANB面积的最大值；
（II）设直线AM，BM的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
分析：（1）设根据离心率椭圆的方程，把M点代入即可求得c，则椭圆的方程可得．设直线l的方程，A（x1，y1），B（x2，x2），直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而代入四边形形面积表达式中，根据m确定四边形的面积最大值．
（2）设直线MA、MB的方程，进而与椭圆方程联立分别求出A，B的横坐标，进而求得两点的坐标的表达式，表示出直线AB的斜率，根据斜率为
1
2
整理可得k1+k2=0．
解答：解：（I）e=
1
2
，设椭圆
x2
4c2
+
y2
3c2
=1，代入M（2，3），得c=2，
所以椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
12
=1
设直线l的方程为y=
1
2
x+m（m∈R），A（x1，y1），B（x2，x2）
游
x2
16
+
y2
12
=1
y=
1
2
x+m
，得x2+mx+m2-12=0
则x1+x2=-m，x1x2=m2-12
又SMANB=
1
2
|MN|•|x1-x2|=
1
2
|MN|•
(x1+x2)2-4x1x2

=
1
2
×6×
48-3m2

显然当m=0时，SMANB=12
3
．

（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k1（x-2）+3（5）y=k2（x-2）+3（k1，2∈R）
将（5）代入（4）得：（16k12+12）x2+（96k1-64k12）x+64k12-192k1-48=0
则2x1=
64k12-192k1-48
16k12+12
∴x1=
8k12-24k1-6
4k12+3

∴A(
8k12-24k1-6
4k12+3
，
-12k12-12k1+9
4k12+3
)，同理：B(
8k22-24k2-6
4k22+3
，
-12k22-12k2+9
4k22+3
)kAB=
y1-y2
x1-x2
=
-12k12-12k1+9
4k12+3
-
-12k22-12k2+9
4k22+3
8k12-24k1-6
4k12+3
-
8k22-24k2-6
4k22+3
=
1
2

化简得：k12=k22∵k1≠k2∴k1=-k2
即k1+k2=0为定值．
点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系．解题的关键是充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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