Question

（2009•大连一模）平面内动点M（x，y），

a

=（x-2，

2

y），

b

=（x+2，

2

y）且

a

•

b

=0
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且

CA

=

BD

①求k的值；
②若点N（

2

，1），求△NCD面积取得最大时直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设动点M（x，y）．根据数量积运算即可得出；
（II）①在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得B，A的坐标，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△及根与系数的关系，利用

CA

=

BD

即可求得k的值．②根据弦长公式和点到直线的距离公式即可得到△NCD的面积，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设动点M（x，y）．
∵

a

•

b

=0，∴(x-2)(x+2)+(

2

y)2=0，
化为

x2

4

+

y2

2

=1，即为点M的轨迹E的方程．
（Ⅱ）①在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得B（0，m），A(-

m

k

，0)．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+2y2=4

得到（1+2k²）x²+4mkx+2m²-4=0，
△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-4）=32k²-8m²+16，
x1+x2=-

4mk

1+2k2

，x1x2=

2m2-4

1+2k2

．
∵

CA

=

BD

，∴-

m

k

-x1=x2，∴-

4mk

1+2k2

=-

m

k

，
又m≠0，化为4k²=1+2k²，k2=

1

2

，
∵k＞0，∴k=

2

2

．
②|CD|=

1+k2

|x1-x2|=

1+ 1 2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

．
点N到CD的距离d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|．
∴S△NCD=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

3(4-m2)

•

6

3

|m|=

2

2

4-m2

|m|=

2

2

(4-m2)m2

≤

2

2

(

4-m2+m2

2

)=

2

．
当且仅当4-m²=m²时等号成立，即m²=2，解得m=±

2

．，此时△＞0，
所以直线的方程为l：y=

2

2

x±

2

．

点评：本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立得到判别式△及根与系数的关系，根据向量相等表示坐标之间的关系，根据弦长公式和点到直线的距离公式得到△的面积，利用基本不等式的性质求最值等知识与方法．需要较强的推理能力和计算能力及模式识别能力．