Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．
（1）求证AC⊥PB；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证AC⊥PB，可以通过证明AC⊥面PDB实现，而后者可由AC⊥BD，AC⊥PD证得．
（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．

解答：（1）证明∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PDB，
∵PB?面PDB∴AC⊥PB．
（2）解：设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，
则由题意PA=PB=PC=

2

，S_△ABC=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

在等腰△PBC中，可求S_△PBC=

1

2

×1×

( 2 )2- ( 1 2 )2

=

7

4

∴V _A-PBC=V _P-ABC，

1

3

×h×

7

4

=

1

3

×1×

3

4

，h=

21

7

∴sinθ=

h

PA

=

21 7

2

=

42

14

点评：本题考查空间直线和直线垂直的判定．线面角求解．考查空间想象、推理论证能力．