Question

【题目】在四棱锥中，，，为中点.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由题意，取中点，连结，，由平面、平面即可得平面平面，即可得证；

（2）由题意可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系后，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由求得两向量夹角的余弦值后即可得解.

（1）在中，由余弦定理得，

，由得.

连结交于点，由，知垂直平分，

分别平分，，

则，，

.

取中点，连结，，则，，

从而，

又平面，平面，故平面.

同理，平面，

又平面，平面，且，

平面平面，

又平面，平面.

（2）连结，因为，则，

由勾股定理得，

又，，

，，两两垂直，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

从而，，

设平面的一个法向量为，

则即取，得.

易得平面的一个法向量为，

则，

二面角的余弦值为.