Question

已知f（x）=

x3

a+5

+（m-1）x²+ax+m²-1是定义在[3a+2，a²]上的奇函数，设F（x）=f（x）-

lnx

1+a

（1）求a和m的值以及F（x）的解析式；
（2）求F（x）的单调区间；
（3）若F（x）+k=0无实数根，求k的范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的定义域关于原点对称，可得3a+2+a²=0，根据奇函数定义及多项式相等的充要条件可得m-1=m²-1=0，结合F（x）=f（x）-

lnx

1+a

中a≠-1，可求出a和m的值，代入可得F（x）的解析式；
（2）利用导数法，分析导函数在区间（0，1]上的符号，进而可得F（x）的单调区间；
（3）根据（2）中结论，可得函数F（x）的值域，进而根据F（x）+k=0无实数根，求k的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

x3

a+5

+（m-1）x²+ax+m²-1是定义在[3a+2，a²]上的奇函数，
∴3a+2+a²=0且m-1=m²-1=0
解得

a=-1 m=1

（舍去），或

a=-2 m=1

∴f（x）=

x3

3

-2x，
F（x）=f（x）+lnx=

x3

3

-2x+lnx，x∈（0，1]
（2）∵F′（x）=x²-2+

1

x

=

(x-1)(x2+x-1)

x

=

(x-1)(x+ 1+ 5 2 )(x+ 1- 5 2 )

x

，
当x∈（0，

5 -1

2

）时，F′（x）＞0，此时函数为增函数
当x∈（

5 -1

2

，1]时，F′（x）＜0，此时函数为减函数
故F（x）的单调递增区间为（0，

5 -1

2

），单调递减区间为（

5 -1

2

，1]
（3）由（2）可知当x=

5 -1

2

时，F（x）取最大值

1-2 5

3

+ln

5 -1

2

，
当x→0时，F（x）→-∞，故F（x）无最小值
若F（x）+k=0无实数根，即F（x）=-k无实数根，
则-k≥

1-2 5

3

+ln

5 -1

2

故k≤

2 5 -1

3

+ln

5 +1

2

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与函数的单调性，函数的零点，函数的最值，是函数较为综合的应用，且运算量比较大，属于难题．