Question

（1）求以（2，-1）为圆心且与直线x+y=5相切的圆C的方程；
（2）求过点P（1，1）的直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离 公式求出圆心到直线的距离，即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；
（2）根据题意得到CP垂直于直线l时，弦长最短，利用两点间的距离公式求出|CP|的长，再利用垂径定理及勾股定理求出弦长；求出此时直线CP的斜率，确定出直线l方程即可．

解答：解：（1）∵圆心（2，-1），r=d=

|2-1-5|

2

=2

2

，
∴圆C方程为（x-2）²+（y+1）²=8；
（2）当CP⊥l时，弦长最短，
此时弦长=2

r2-|CP|2

=2

8-[(2-1)2+(-1-1)2]

=2

3

，
∵k_CP=

-1-1

2-1

=-2，∴k_l=

1

2

，
则直线l方程为y-1=

1

2

（x-1），即x-2y+1=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．