Question

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA₁,F为棱BB₁的中点,M为线段AC₁的中点.

(1)求证:直线MF∥平面ABCD;

(2)求证:平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁;

(3)求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角(锐角)的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:延长C₁F交CB的延长线于点N,连结AN.

∵F是BB₁的中点,∴F为C₁N的中点,

B为CN的中点.

又M是线段AC₁的中点,

故MF∥AN.

∵MF平面ABCD,AN平面ABCD,

∴MF∥平面ABCD.

(2)证明:连结BD,由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁可知:A₁A⊥平面ABCD,

又∵BD平面ABCD,∴A₁A⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.

又∵AC∩A₁A=A,AC,A₁A平面ACC₁A₁,

∴BD⊥平面ACC₁A₁.

在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,

∴四边形DANB为平行四边形.

故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC₁A₁.

又∵NA平面AFC₁,

∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁.

(3)由(2)知BD⊥平面ACC₁A₁,

又AC₁平面ACC₁A₁,∴BD⊥AC₁.

∵BD∥NA,∴AC₁⊥NA.

又由BD⊥AC可知NA⊥AC,

∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角.

在Rt△C₁AC中,tan∠C₁AC==,

故∠C₁AC=30°.

∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°.

解法二:

设AC∩BD=O,∵M、O分别为C₁A、CA的中点,

∴MO∥C₁C.

又由直四棱柱知C₁C⊥平面ABCD,

∴MO⊥平面ABCD.

在菱形ABCD中,BD⊥AC,

∴OB、OC、OM两两垂直.

故以O为原点,OB、OC、OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系,若设|OB|=1,则B(1,0,0),B₁(1,0,2),A(0,-,0),C(0,,0),C₁(0,,2).

(1)由F、M分别为B₁B、C₁A的中点可知:F(1,0,1),M(0,0,1),

∴=(1,0,0)=.

根据已知得MF∥OB.

∵MF平面ABCD,OB平面ABCD,

∴MF∥平面ABCD.

(2)=(1,0,0)为平面ACC₁A₁的法向量.

设n=(x,y,z)为平面AFC₁的一个法向量,

则n⊥,n⊥.由=(1,3,1),=(1,0,0),解得

令y=1,得z=-,此时,n=(0,1,-).

由n·=(0,1,-)·(1,0,0)=0得平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁.

(3)=(0,0,1)为平面ABCD的法向量,

设平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为θ,

则|cosθ|=|cos〈,n〉|= |=||=.

根据已知得θ=30°,

即平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°.