Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，
故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD…（6分）
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以，CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=PD=

2

2

AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD
又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，
又PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）