Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为4的正方形，E（2，2，0），E为PB中点，PB=4

2

．
（1）求证：PD∥面ACE．
（2）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）通过作平行线的方法，由线线平行证明线面平行即可；
（2）根据E的坐标判断线面垂直，再求得PA长，利用三棱锥的换底性求体积即可．

解答：解：（1）证明：因为E为PC的中点，连接BD，交AC于F，连接EF．
∵四边形ABCD为正方形∴F为BD的中点∴EF∥PD
又∵PD?面ACE，EF?面ACE，
∴PD∥面ACE．
（2）∵E是PB的中点，E的坐标为（2，2，0），∴BC⊥平面PAB，PA⊥平面ABCD．
又AB?平面ABCD，∴PA⊥AB
在RT△PAB中，PB=4

2

，AB=4，∴PA=AB=4∵E为PC的中点，
V_E-ABC=V_C-ABE=

1

3

S_△ABE•BC=

1

3

×

1

2

×S_△PAB×BC=

1

3

×

1

2

×

1

2

×4×4×4=

16

3

．

点评：本题考查线面平行的判定及三棱锥的体积．可利用三棱锥的换底性求体积．