已知函数f(x)=x3+x,x∈R在定义域R上的奇偶性与单调性(只须写出结论.无需证明),(2)若a.b.c∈R.且a+b＞0,b+c＞0,c+a＞0.试证明:f＞0. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f(x)=x³+x,x∈R

（1）指出f(x)在定义域R上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无需证明）；

（2）若a、b、c∈R，且a+b＞0,b+c＞0,c+a＞0，试证明：f(a)+f(b)+f(c)＞0.

解析：利用函数单调性和奇偶性判断；根据已知条件a+b＞0,b+c＞0,c+a＞0，可以判断出f(a),f(b),f(c)之间的大小关系.

答案：（1）f(x)是定义域R上的奇函数且为增函数．

（2）由a+b＞0得a＞-b.由增函数，

得f(a)＞f(-b),

由奇函数，得f(-b)=-f(b)，

∴f(a)+f(b)＞0,

同理可得f(b)+f(c)＞0,f(c)+f(a)＞0,

将以上三式相加后，得f(a)+f(b)+f(c)＞0.

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（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(

-1)2+(

-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k²，b=（k+c）²时，记f（x）=f₁（x）；当a=（k+c）²，b=（k+2c）²时，记f（x）=f₂（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞

4c2

k(k+c)

．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f₁(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f₂(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f₂(x)－f₁(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x²，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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