Question

某中学有A、B、C、D、E五名同学在高三“一检”中的名次依次为1，2，3，4，5名，“二检”中的前5名依然是这五名同学．
（1）求恰好有两名同学排名不变的概率；
（2）如果设同学排名不变的同学人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）先求出第二次排名，恰好有两名同学排名不变的情况数，以及第二次排名情况总数，根据古典概型的概率公式解之即可
（2）第二次同学排名不变的同学人数X可能的取值为5，3，2，1，0，然后分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答：解：（1）第二次排名，恰好有两名同学排名不变的情况数为：C₅²C₂¹C₁¹C₁¹=20（种），
第二次排名情况总数为：A₅⁵=120．所以恰好有两名同学排名不变的概率为p=

20

120

=

1

6

．
（2）第二次同学排名不变的同学人数X可能的取值为5，3，2，1，0．
p(X=5)=

1

120

，
p(X=3)=

C

3 5

×

1

120

=

1

12

，
p(X=2)=

1

6

．
p(X=1)=

C

1 5

C 1 3 C 1 3

120

=

45

120

=

3

8

，
p(X=0)=1-(

1

120

+

1

12

+

1

6

+

3

8

)=

44

120

=

11

30

．
X分布列为

X	0	1	2	3	5
P	11 30	3 8	1 6	1 12	1 120

X的数学期望EX=0×

11

30

+1×

3

8

+2×

1

6

+3×

1

12

+5×

1

120

=1．

点评：本题主要考查了古典概型的概率，以及排列组合和离散型随机变量的期望和分布列等有关知识，属于中档题．