Question

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx

（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；

（2）当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．

Answer 1

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：

综合题．

分析：

（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；

（2）根据a²=4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．

解答：

解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，

由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：．

（2）由题设a²=4b，设

则，令h'（x）=0，解得：，；

∵a＞0，∴，

x	（﹣∞，﹣）	﹣			）
h′（x）	+		﹣		+
h（x）		极大值		极小值

∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在单调递减，在）上单调递增

①若，即0＜a≤2时，最大值为；

②若，即a＞2时，最大值为

综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；当a∈（2，+∞）时，最大值为．

点评：

本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．