Question

【题目】设A是双曲线 的右顶点，F（c，0）是右焦点，若抛物线 的准线l上存在一点P，使∠APF=30°，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A.[2，+∞）
B.（1，2]
C.（1，3]
D.[3，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：抛物线 的准线l为x= ，

双曲线 的右顶点A（a，0），

F（c，0）是右焦点，

设l与x轴的交点为H，设P（ ，h），h＞0，

在直角三角形PHA中，可得tan∠APH= = ，

在直角三角形PHF中，可得tan∠FPH= = ，

即有tan∠APF=tan（∠FPH﹣∠APH）

= = ≤ ，

即为tan30°= ≤ ，

化简可得3c2≥4ac+4a2，

由e= 可得3e2﹣4e﹣4≥0，

解得e≥2或e≤﹣ （舍去），

故选：A．