Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．
（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．
（2）若△AOB的面积为

5

2

，求向量

OA

，

OB

的夹角．

Answer 1

分析：（1）由题意知：抛物线方程为：y²=4x且P（-1，0）．设直线l的方程为x=my-1，将抛物线C的方程y²=4x与直线l的方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理求得k_AT+k_BT，设点T（t，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得k_TA+k_TB=0，利用韦达定理，即可求得a=1．
（2）根据三角形的面积公式得S_△ABC=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

5

2

，从而有|y₁-y₂|=5，再设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB=θ，利用斜率公式得出k_OA和k_OB，设θ=|α-β|，再利用夹角公式，即可求出答案．

解答：解：（1）由题意知：抛物线方程为：y²=4x且P（-1，0）-------（1分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程为x=my-1，代入y²=4x得
y²-4my+4=0，△=16m²-16＞0，得m²＞1，

y1+y2=4m y1y2=4

--------（2分）
假设存在T（a，0）满足题意，则k_AT+k_BT=

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=

2my1y2-(1+a)(y1-y2)

(x1-a)(x2-a)

=

8m-4m(1+a)

(x1-a)(x2-a)

=0．∴8m-4m（1+a）=0，
∴a=1，∴存在T（1，0）----------------（6分）
（2）S_△ABC=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

5

2

∴|y₁-y₂|=5----------------（7分）
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB=θ
k_OA=

y1

x1

=

y1

y 2 1 4

=

4

y1

=tanα，k_OB=

4

y2

=tanβ--------（9分）
设θ=|α-β|，
∴tanθ=|tan（α-β）|=|

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

|=|

4 y1 - 4 y2

1+ 16 y1y2

|=

|y1-y2|

5

=1------（11分）
∴θ=

π

4

----------------------（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查曲线方程的联立，韦达定理的使用，斜率公式的应用，突出考查化归思想与方程思想，属于难题．