Question

4．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．任何一个三次函数都有“拐点”，且其“拐点”恰好就是该函数的对称中心，设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，则f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2014
• D． 1007.5

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）的对称中心，得到f（1-x）+f（x）=2，即可得出．

解答 解：依题意，得：f′（x）=x²-x+3，
∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1）
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=2015．
故选：B．

点评 本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于中档题．