Question

（2013•烟台一模）已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值，及取最小值时x的值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象求出函数f（x）的最小值，以及此时x的值即可；
（2）由f（C）=0以及（1）得出的f（x）解析式，根据C的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a；再利用余弦定理列出关于a与b的方程，两方程联立即可求出a与b的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小值为-2，当且仅当x=kπ-

π

6

，k∈Z；
（2）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得：b=2a①，
则由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3②，
联立①②，解得：a=1，b=2．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，正弦、余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．