Question

若△ABC的面积为

15 3

4

，AB=3，AC=5，且角A为钝角，边BC的中点为D，则AD长度为（　　）

• A．

  19

  2

• B．

  38

  2

• C．

  7

  2

• D．7

Answer 1

分析：由△ABC的面积求得sinA=

3

2

，再由角A为钝角，可得A=

2π

3

．△ABC中，由余弦定理求得BC=7，再由正弦定理求得sinB的值．由题意可得B为锐角，利用同角三角函数的
基本关系求得cosB 的值，△ABD中，由余弦定理求得AD的值．

解答：解：△ABC中，由题意可得

1

2

•AB•AC•sinA=

15

2

•sinA=

15 3

4

，∴sinA=

3

2

．
再由角A为钝角，可得A=

2π

3

．
由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2•AB•AC•cosA=9+25-30•cos

2π

3

=49，∴BC=2BD=7．
再由正弦定理可得

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

7

sin 2π 3

=

5

sinB

，∴sinB=

5 3

14

．
由题意可得B为锐角，∴cosB=

1-sin2B

=

11

14

．
△ABD中，由余弦定理可得 AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cosB=9+

49

4

-21•

11

14

=

19

4

，∴AD=

19

2

，
故选A．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．