Question

【题目】已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

(2)过点 作圆的两条切线，切点分别为，求直线被曲线截得的弦的中点坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）已知动圆P与圆M外切，与圆N内切，利用圆心距和半径的关系得到P到M和P到N的距离之和为定值，符合椭圆定义，从而求得曲线的方程；

（2）先求直线AB，联立直线与椭圆方程，再根据一元二次方程根与系数的关系，求得相交弦的中点坐标.

（1）由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径;圆N的圆心为N(1,0),半径.

设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以

.

根据椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点的椭圆(左长轴端点除外),

即，椭圆方程为.

（2）过点 作圆的两条切线，切点分别为，如下图：

，以为圆心，为半径的圆与圆公共弦所在直线AB，

联立曲线与直线可得，，

设交点，则，

所以中点的横坐标为，代入得中点的纵坐标为，

所求中点坐标为