Question

已知圆O：x²+y²=1，直线l:y=(x+4).

（1）设圆O与x轴的两交点是F₁,F₂，若从F₁发出的光线经l上的点M反射后过点F₂，求以F₁,F₂为焦点且经过点M的椭圆方程.

（2）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切.若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标.

Answer 1

解:(1)如图，由光学几何知识可知，点F₁关于l的对称点F₁′在过点A(-4,0)且倾斜角为60°的直线l′上.在△AF₂F₁′中，椭圆长轴长2a=MF₁+MF₂=F₁′F₂=，

又椭圆的半焦距c=1，∴b²=a²-c²=.

∴所求椭圆的方程为=1.

(2)路程最短即为l′上的点P′到圆O的切线长最短，由几何知识可知，P′应为过原点O且与l垂直的直线与l′的交点，这一点又与点P关于l对称，∴AP=AP′=2.故点P的坐标为(-2,0).