Question

已知函数f(x)=

3

sinxsin(x+

π

2

)+sin2x(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式第一项利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=

3

sinxcosx+sin²x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
则函数f（x）的最小正周期是π；  
 （Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，即sin（2x-

π

6

）+

1

2

∈[0，

3

2

]，
则f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值分别为

3

2

，0．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．