题目内容

在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 $数学公式$
（1）求三角形ABC的面积和边BC的长度；
（2）求sin∠BAD的值．

解：（1）由已知 $\text{[math]}$ =13， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =10，
$\text{[math]}$ =50? $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •cos∠BAC=50，
∴cos∠BAC= $\text{[math]}$ ，
∴sin∠BAC= $\text{[math]}$ ，
则S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•ACsin∠BAC
= $\text{[math]}$ ×13×10× $\text{[math]}$
=60
由余弦定理得BC= $\text{[math]}$ =13
（2）在Rt△CAD中，sin∠CAD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，cos∠CAD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）
=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意可求得cos∠BAC，继而可得sin∠BAC，从而可得S_△ABC，再由余弦定理求得BC即可；
（2）在Rt△CAD中，求得sin∠CAD，cos∠CAD，利用两角和的正弦即可求得答案．
点评：本题通过考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理及其应用，考查分析与运算的能力，属于中档题．