Question

【题目】如图所示，和所在平面互相垂直，且分别为的中点．

（1）求证:；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的运算，即可证得；（2）求得平面的一个法向量为，设平面的法向量，利用法向量所成的角，即可求解二面角的大小．

试题解析：（1）证明：由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得，因而，

因此，从而．

（2）在图中，平面的一个法向量为，设平面的法向量，

又，得其中一个，

设二面角的大小为，且由题知为锐角，

则，因此，

即所求二面角正弦值为．