Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nlog₂（a_n-1），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2a_n+n-4，∴S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4
∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，从而a_n=2a_n-1-1即a_n-1=2（a_n-1-1）
∴数列{a_n-1}为等比数列
又a₁=S₁=2a₁-3，故a₁=3
因此
∴
（2）由（1）可得
记
∴
两式相减可得：
=
∴
∴
分析：（1）由S_n=2a_n+n-4，可得S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4，两式相减可得a_n-1=2（a_n-1-1），故数列{a_n-1}为等比数列，由此可求；
（2）由（1）可得，然后分两部分求和，一部分错位相减，一部分等差数列的求和公式，即可得答案．
点评：本题为数列的综合应用，涉及错位相减法求和以及分项求和，属中档题．