Question

已知动点P在直线x+2y-2=0上，动点Q在直线x+2y+4=0上，线段PQ中点M（x₀，y₀）满足不等式

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，则x₀²+y₀²的取值范围是（　　）

• A．[

  5

  5

  ，

  34

  ]
• B．[

  1

  5

  ，34]
• C．[

  1

  5

  ，10]
• D．[10，34]

Answer 1

分析：首先由直线x+2y-2=0与直线x+2y+4=0是平行线，得出PQ的中点M（x₀，y₀）满足的直线方程；再根据

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

对应的平面区域进一步限定M的范围；最后结合x₀²+y₀²的几何意义求出其范围．

解答：解：根据题意作图如下
因为PQ中点为M，则点M的坐标满足方程x+2y+1=0，
又

y0≤ x0 3 +2 y0≤-x0+2

，则点M在线段AB上，
且由 得 A（-3，1），B（5，-3）
则x₀²+y₀²的可视为点M与原点O的距离的平方，
其距离最小为原点到直线x+2y+1=0的距离，最大为OB．
则x₀²+y₀²的取值范围是[

1

5

，34]．
故选B．

点评：此题为一道中档题，要求学生会利用解析法求出中点坐标，会根据条件列出不等式求解集．学生做题时注意灵活x₀²+y₀²的几何意义求出其范围．