Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足关系式S_n+1=4a_n+2，且a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N⁺），证明：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求S_n．

Answer 1

分析：（1）n≥2时，S_n=4a_n-1+2，S_n+1=4a_n+2，相减得a_n+1=4a_n-4a_n-1，构造出数列的递推关系式a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），可证{b_n}是等比数列．
（2）由（1）bn=3•2n-1得出an+1=2an+3•2n-1，构造数列{

an

2n-2

}是2为首项，3为公差的等差数列，通过数列{

an

2n-2

}的通项求出数列{a_n}的通项．
（3）在（2）的基础上利用S_n+1=4a_n+2求S_n．

解答：解：（1）n≥2时，S_n=4a_n-1+2，S_n+1=4a_n+2
相减得a_n+1=4a_n-4a_n-1…．…2’
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
∴令b_n=a_n+1-2a_n，则b_n=2b_n-1
又b₁=a₂-2a₁而a₁=1，∴a₂=5，∴a₂=5
∴数列{b_n}是以3为首项，2为公比的等比数列…..4’
（2）由（1）bn=3•2n-1∴an+1=2an+3•2n-1
∴

an+1

2n-1

=

an

2n-2

+3又

a1

21-2

=2
∴数列{

an

2n-2

}是2为首项，3为公差的等差数列….6’
∴

an

2n-2

=2+(n-1)•3=3n-1
∴an=2n-2(3n-1)…7’
（3）Sn=4an-1+2=4•2n-3(3n-4)+2=2n-1(3n-4)+2（n≥2）
又S₁=a₁=1符合上式
∴n≥1时，Sn=2n-1(3n-4)+2…12’

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，数列求和，考查变形构造、转化、计算能力．一般的形如a_n+1=pa_n+q型递推公式，均可通过两边加上一个合适的常数，变形构造出一个新的等比数列．