Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣ ；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，

当x≥3时，f（x）≤﹣ ，即为（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣ ，即﹣1 成立，则有x≥3；

当x≤2时，f（x）≤﹣ 即为（3﹣x）﹣（2﹣x） ，即1 ，解得x∈；

当2＜x＜3时，f（x）≤﹣ 即为3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣ ，解得，x≥ ，则有 ≤x＜3．

则原不等式的解集为[ ，3）∪[3，+∞）即为[ ，+∞）

（2）解：由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，

即有f（x）的最大值为|a﹣3|．

若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，则有|a﹣3|≥a，

即 或 ，即有a∈或a≤ ．

则a的取值范围是（﹣∞， ]

【解析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．