Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n＜m对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=-1，S₁₂=186，
∴，即186=-12+66d．∴d=3．
所以数列{a_n}的通项公式a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．
（Ⅱ）∵，a_n=3n-4，∴．
∵当n≥2时，，
∴数列，故．是等比数列，首项，公比．
∴．
∵，又不等式T_n＜m对n∈N*恒成立，
而单调递增，且当n→∞时，，
∴m≥．
分析：（Ⅰ）根据等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186，求得公差，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入，证明数列{b_n}是等比数列，根据等比数列求和公式求得T_n，求T_n的最大值．
点评：考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，及它们之间的相互转化，体现了极限的思想方法，属中档题．