Question

已知曲线C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R），O为坐标原点．
（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆且离心率e＞

2

2

，求m的取值范围；
（Ⅱ）设m=4，直线l过点（0，1）且与曲线C交于不同的两点A、B，求当△ABO的面积取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）先化简方程，根据椭圆的标准方程及离心率不等式求出m满足的条件，再求解．
（II）设出直线方程，及直线与椭圆的交点坐标，再根据弦长公式及三角形面积公式，将面积S表示成K的函数，用换元法求函数S（K）的最值及取的最值的K值．

解答：解：（I）方程化为

x2

8 5-m

+

y2

8 m-2

=1，∵是焦点在x轴点上的椭圆，
∴m-2＞5-m＞0⇒

7

2

＜m＜5
∵e=

c

a

＞

2

2

⇒4c²＞2a²⇒a²＞2b²⇒m＞4，
∴m的取值范围是4＜m＜5．
（II）当m=4时，曲线C的方程为：

x2

8

+

y2

4

=1，
①当倾斜角为

π

2

 时，三角形不存在；
②当斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，则原点O到直线的距离d=

1

1+k2

，
 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为直线与椭圆的两个交点，
联立直线和椭圆方程

y=kx+1 x2+2y2=8

消去y可得（2k²+1）x²+4kx-6=0，
则x1+x2=

-4k

1+k2

，x1x2=

-6

1+2k2

，|AB|=

(1+k2)[( -4k 1+2k2 )2+ 24 1+2k2 ]

S=

1

2

d|AB|=

1

2

1

(1+k2 )

(1+k2)[( -4k2 1+2k2 )2+ 24 1+2k2 ]

=

1

2

( -4k 1+2k2 )2+ 24 1+2k2

=

4k2 (1+2k2)2 + 6 1+2k2

=

16k2+6 (1+2k2)2

令t=

1

1+2k2

，t∈（0，1]；
S=

16k2+6

(1+2k2)2

=

16k2+8-2

(1+2k2)2

=

8

1+2k2

-

2

(1+2k2)2

=-2t²+8t=8-2（t-2）²，
在（0，1]单调递增，
∴当t=1时上式为最大值，最大值是6，此时k=0，直线方程为y=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线的最值问题．利用函数思想，构造函数求最值是解本题的关键．