Question

（本小题满分14分）
已知函数，当时，取得极小值.
（1）求，的值；
（2）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列两个条件：
①直线与曲线相切且至少有两个切点；
②对任意都有.则称直线为曲线的“上夹线”.
试证明：直线是曲线的“上夹线”.
（3）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的、，当，且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.

Answer 1

（1），…………………………………………3分
（2）由，得，当时，此时，，所以是直线与曲线的一个切点，
当时，，，，
所以是直线与曲线的一个切点 
所以直线与曲线相切且至少有两个切点……6分
对任意，
所以,因此直线：是曲线：的“上夹线” …9分
（3）方法一：，为的根，即，也即，………10分
而
∴，
∴……………………………13分
所以存在这样最小正整数使得恒成立.………14分
方法二：不妨设，因为，所以为增函数，所以
又因为，所以为减函数，所以
所以，……………………11分
即………13分
故存在最小正整数，使得恒成立…………………14分

解析