题目内容
已知函数f(x)是在(0，+∞)上处处可导的函数，若xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立．(1)求证：函数g(x)=
在(0，+∞)上单调递增；
(2)求证：当x1＞0，x2＞0时，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．
答案：(1)g′(x)=.
当x∈(0，+∞)时，∵xf′(x)＞f(x)，∴g′(x)＞0．
因此，函数g(x)=
在(0，+∞)上单调递增．
(2)f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)
=
(x1+x2)
=x1
当x1＞0，x2＞0时，x1+x2＞x1，x1+x2＞x2，
由(1)得
，
.
∴f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)＞0．
∴f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．
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