Question

已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.
（1）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；
（2）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

Answer 1

（1）;（2）

试题分析：（1）因为点M在抛物线外面，所以过M与抛物线相交的直线斜率存在，用点斜式假设直线方程并联立抛物线方程，消去y，即可得一个关于x的一元二次方程，由韦达定理及已知中点的横坐标，即可求出斜率的值.
（2）由点A,B的横坐标满足（1）式中的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数的等式，再写出直线的方程，利用点差法将点A,B的坐标带入抛物线方程.即可求出直线过定点，要做点是否存在的判定.
试题解析：（1）设过点的直线方程为，
由   得
因为 ，且，
所以，.
设，，则，.
因为线段中点的横坐标等于，所以，
解得，符合题意.
（2）依题意，直线，
又 ，，
所以
因为 ， 且同号，所以，
所以 ，
所以，直线恒过定点.