Question

函数f（x）定义在N上，且对x∈N^*，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（1）=2009，f（3）=0，则f（x）值有个．

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   6
4. D.
   不确定

Answer 1

B
分析：先由f（x）=f（x-1）+f（x+1），（1）得出f（x+1）=f（x）+f（x+2），即f（x）=f（x-1）+f（x）+f（x+2），故f（x-1）=-f（x+2），即f（x）=-f（x+3），（2）即f（x）=f（x+6），（3）得出周期为6；再分别计算出：f（1）=2009，f（3）=0，f（2）=2009，f（4）=-f（1）=-2009，f（5）=-f（3）=-2009．得出f（x）的数值规律是即可．
解答：因为f（x）=f（x-1）+f（x+1），（1）
所以f（x+1）=f（x）+f（x+2），
即f（x）=f（x-1）+f（x）+f（x+2），
故f（x-1）=-f（x+2），
即f（x）=-f（x+3），（2）
即f（x）=f（x+6），（3）
所以周期为6；
又因为f（1）=2009，f（3）=0
代入公式（1），得出f（2）=2009
代入公式（2），得出f（4）=-f（1）=-2009，f（5）=-f（2）=-2009．
综上f（x）的数值规律是：2009，2009，0，-2009，-2009，0，2009，2009，0，-2009，-2009，0…
则f（x）值有3个．
故选B
点评：此题要求多次迭代同一个公式，并且对公式多角度的应用，理解周期函数的规律，培养学生的观察分析能力．运用好递推公式f（x）=f（x-1）+f（x+1）多次迭代求出周期，利用初始值f（1）=2009，f（3）=0判断结果，注意定义域x∈N^*，