题目内容
在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）、B（1，0），动点P满足| AB |
| AP |
| PB |
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）若直线y=x+b（b＞0）与轨迹C相交于M、N两点，直线y=x-b与轨迹C相交于P、Q两点，顺次连接M、N、P、Q得到的四边形MNPQ是菱形，求b．
分析：（1）设出P的坐标，则
，
和
可表示出，根据
•
=6|
|整理求得P的轨迹方程．
（2）设出M，N的坐标，利用对称性可推断出P，Q的坐标，因为MNPQ是菱形，判断出MP⊥NQ，
•
=0，即x1x2+y1y2=0，由直线与椭圆的方程联立消去y后，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用x1x2+y1y2=0，求得b．
| AB |
| AP |
| PB |
| AB |
| AP |
| PB |
（2）设出M，N的坐标，利用对称性可推断出P，Q的坐标，因为MNPQ是菱形，判断出MP⊥NQ，
| MP |
| NQ |
解答：解：（1）设P（x，y），则
=(-3，0)，
=(x-4，y)，
=(1-x，-y)，
因为
•
=6|
|，所以-3(x-4)=6
，
化简整理得点P的轨迹C的方程为
+
=1．
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2），由C的对称性，得P（-x1，-y1）、Q（-x2，-y2），
因为MNPQ是菱形，所以MP⊥NQ，
•
=0，即x1x2+y1y2=0，
由
得7x2+8bx+（4b2-12）=0，x1+x2=-
，x1x2=
x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=b2-
=0，
检验知，此时△=(8b)2-4×7×(4b2-12)=336-48b2=
＞0，
所以b=
．
| AB |
| AP |
| PB |
因为
| AB |
| AP |
| PB |
| (x-1)2+y2 |
化简整理得点P的轨迹C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2），由C的对称性，得P（-x1，-y1）、Q（-x2，-y2），
因为MNPQ是菱形，所以MP⊥NQ，
| MP |
| NQ |
由
|
| 8b |
| 7 |
| 4b2-12 |
| 7 |
x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=b2-
| 24 |
| 7 |
检验知，此时△=(8b)2-4×7×(4b2-12)=336-48b2=
| 1200 |
| 7 |
所以b=
2
| ||
| 7 |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，轨迹方程问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
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