Question

已知函数f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx-cos2xx∈R
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）A是△ABC的内角，f(A)=

3

，求A角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系式可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

），由x∈[0，

π

2

]，可求得2x-

π

6

的范围，利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）依题意，可求得sin（2A-

π

6

）=

3

2

，从而可求得角A的值．

解答：解：f（x）=2

3

sinxcosx+sin²x-cos²x…（2分）
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）…（4分）
（1）∵x∈[0，

π

2

]，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]…（5分）
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1…（7分）
x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域为[-

1

2

，1]…（8分）
（2）∵A∈（0，π），
∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

）…（10分）
∵2sin（2A-

π

6

）=

3

，
∴2A-

π

6

=

π

3

或

2π

3

…（12分）
∴A=

π

4

或

5π

12

…（14分）

点评：本题考查二倍角的余弦，考查两角和与差的正弦函数及其性质，属于中档题．