Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)对函数求导,求,,然后利用点斜式方程可求得答案;

(2)对函数求导,构造函数判断其在上单调递增,分类讨论时:判断函数单调递增函数,然后再由求得的取值范围;时,使得,判断在上函数单调递减,上单调递增,求得函数最小值然后利用和进行适当地转化即可求出参数的取值范围,最后总结讨论结果得出的取值范围.

解：（1）当时,,,

则,,由点斜式方程可得:化简得:,

即切线方程为.

（2）由,得,

令,则.

所以在上单调递增,且.

①当时,,函数单调递增,

由于恒成立,则有,即,

所以满足条件;

②当时,则存在,使得,当时,,则,单调递减;当时,,则,单调递增.

所以，

又满足,即,

所以,则,即，得.

又，令，则，

可知，当时，，则单调递减，

所以，

此时满足条件.

综上所述,的取值范围是.