Question

【题目】在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，.

【解析】

（1）设出M的坐标为，采用直接法求曲线的方程；

（2）设AB的方程为，，,，求出AT方程，联立直线方程得D点的坐标，同理可得E点的坐标，最后利用向量数量积算即可.

（1）设动点M的坐标为，由知∥，又在直线上，

所以P点坐标为，又，点为的中点，所以，，，

由得，即；

（2）

设直线AB的方程为，代入得，设，，

则，，设，则，

所以AT的直线方程为即，令，则

，所以D点的坐标为，同理E点的坐标为，于是，

，所以

，从而，

所以是定值.