Question

（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

．
（1）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+

1

2

c=b，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为 sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

．由f（x）=1 求得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，再根据cos（

2π

3

-x）=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=
2sin2(

x

2

+

π

6

)-1求出结果．
（2）在△ABC中，由acosC+

1

2

c=b及余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，由此求得角A的值，从而求出B的范围、

B

2

+

π

6

的范围，进而求出sin（

B

2

+

π

6

） 的范围，则函数f（B）
=sin（

B

2

+

π

6

）+

1

2

的值域可得．

解答：解：（1）由题意得：函数f（x）=

3

sin

x

4

•cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1+cos x 2

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

．…（3分）
∵f（x）=1，即 sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
则 cos（

2π

3

-x）=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

x

2

+

π

6

)-1=-

1

2

．  …（6分）
（2）在△ABC中，由acosC+

1

2

c=b 可得 a•

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b，即 b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

．
 再由0＜A＜π，可得A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

．  …（9分）
∴0＜B＜

2π

3

，0＜

B

2

＜

π

3

，∴

π

6

＜

B

2

+

π

6

＜

π

2

，∴

1

2

＜sin（

B

2

+

π

6

）＜1．
∴f（B）=sin（

B

2

+

π

6

）+

1

2

∈（1，

3

2

）．   …（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两角和的正弦公式、二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．