题目内容
已知正项数列{an}的前n和为Sn，且
是
与（an+1）2的等比中项．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=
，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{
}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．
| Sn |
| 1 |
| 4 |
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=
| an |
| 2n |
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{
| Tn+λ |
| an+2 |
（1）∵Sn=
(an+1)2，∴a1=S1=
(a1+1)2，∴a1=1（an＞0）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
(an+1)2-
(an-1+1)2，∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，
∴an-an-1=2，
∴{an}为等差数列．（4'）
（2）由（1）知，{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=2n-1
∴bn=
，①
Tn=
+
+…+
，①
Tn=
+
+
+…+
+
②
①-②得：
Tn=
+2(
+
+
+
)-
∴Tn=3-
（9'）
（3）∵
=(3-
+λ)
=
-
易知，当λ=-3时，数列{
}为等比数列．（13'）
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∵an＞0，
∴an-an-1=2，
∴{an}为等差数列．（4'）
（2）由（1）知，{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=2n-1
∴bn=
| 2n-1 |
| 2n |
Tn=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 2n-1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 5 |
| 24 |
| 2n-3 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n |
①-②得：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
∴Tn=3-
| 2n-3 |
| 2n |
（3）∵
| Tn+λ |
| an+2 |
| 2n+3 |
| 2n |
| 1 |
| 2n+3 |
| 3+λ |
| 2n+3 |
| 1 |
| 2n |
易知，当λ=-3时，数列{
| Tn+λ |
| an+2 |
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