Question

如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B，C₁C的中点，过A₁、B、M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N.

(1)求证：EM∥A₁B₁C₁D₁;

(2)求二面角B-A₁N-B₁的正切值.

Answer 1

解法一：(1)证明：取A₁B₁的中点F，连结EF，C₁F.

∵E为A₁B中点，

∴EFBB₁.                                                             

又∵M为CC₁中点,∴EFC₁M.

∴四边形EFC₁M为平行四边形.

∴EM∥FC₁.                                                              

而EM平面A₁B₁C₁D₁，FC₁平面A₁B₁C₁D₁,

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁.                                                      

(2)由(1)EM∥平面A₁B₁C₁D₁,EM平面A₁BMN,

平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N,

∴A₁N∥EM∥FC₁.

∴N为C₁D₁中点，过B₁作B₁H⊥A₁N于H，连结BH，根据三垂线定理BH⊥A₁N，

∴∠BHB₁即为二面角B-A₁N-B₁的平面角.                                     

设AA₁=a，则AB=2a，

∵A₁B₁C₁D₁为正方形,

∴A₁N=a，

又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁,∴B₁H=.

在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁=,

即二面角BA₁NB₁的正切值为.                                           1

解法二：(1)证明:建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA₁=a(a＞0)，则

A₁(2a，0，a)，B(2a，2a，0)，C(0，2a，0)，C₁(0，2a，a).                     

∵E为A₁B的中点，M为CC₁的中点,

∴E(2a，a，)，M(0，2a，),

∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁.                                                   

 (2)设平面A₁BM的法向量为n=(x，y，z),又=(0,2a,-a)，=(-2a,0,)，

由n⊥,n⊥，

得,

∴∴取n=(,,a).                                                

而平面A₁B₁C₁D₁的法向量n₁=(0，0，1)，设二面角为θ，

则|cosθ|=,

又二面角为锐二面角,∴cosθ=，                                        

从而tanθ=.