题目内容
已知函数f(x)=
sinωx·cosωx-cos2ωx+
(ω∈R,x∈R)的最小正周期为π,且图象关于直线x=
对称.（1）求f(x)的解析式；
（2）若函数y=1-f(x)的图象与直线y=a在［0,
］上只有一个交点，求实数a的取值范围.
解：（1）∵f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+=sin2ωx-
(1+cos2ωx)+
=sin(2ωx-
)+1,由f(x)的周期为π,∴
=π
ω=±1,∴f(x)=sin(±2x-
)+1.
①当ω=1时，f(x)=sin(2x-
)+1,
∵f(
)=sin
+1不是最大或最小值，其图象不关于x=
对称，舍去.
②当ω=-1时，f(x)=-sin(2x+
)+1,
∵f(
)=-sin
+1=0是最小值，其图象关于x=
对称.故f(x)=1-sin(2x+
)为所求解析式.
（2）∵y=1-f(x)=sin(2x+
),在同一坐标系中作出y=sin(2x+
)和y=a的图象.
由上图可知，直线y=a在a∈［-
,
)或a=1时，两曲线只有一个交点，∴a∈［-
,
）或a=1.
练习册系列答案
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