Question

13．两球O₁和O₂在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内部，且互相外切，若球O₁与过点A的正方体的三个面相切，球O₂与过点C₁的正方体的三个面相切，则球O₁和O₂的表面积之和的最小值为（　　）

• A． 3（2-$\sqrt{3}$）π
• B． 4（2-$\sqrt{3}$）π
• C． 3（2+$\sqrt{3}$）π
• D． 4（2+$\sqrt{3}$）π

Answer 1

分析 设出球O₁与球O₂的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．

解答 解：∵AO₁=$\sqrt{3}$R₁，C₁O₂=$\sqrt{3}$R₂，O₁O₂=R₁+R₂，
∴（$\sqrt{3}$+1）（R₁+R₂）=$\sqrt{3}$，
R₁+R₂=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}+1}}$，球O₁和O₂的表面积之和为4π（R₁²+R₂²）≥4π•2（$\frac{{{R_1}+{R_2}}}{2}$）²
=2π（R₁+R₂）²=3（2-$\sqrt{3}$）π．
故选：A．

点评 本题是中档题，考查球与正方体相切关系的应用，考查基本不等式求解最值问题，考查计算能力，空间想象能力．