Question

已知函数f(x)=sin(x+

7π

4

)+cos(x-

3π

4

)，x∈R，求f（x）的最小正周期和在[0，

π

2

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：将函数解析式两项分别利用两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数的值域，即可确定出函数的最小值与最大值．

解答：解：f（x）=sinxcos

7π

4

+cosxsin

7π

4

+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx+

2

2

sinx
=

2

（sinx-cosx）
=2sin（x-

π

4

），
∵ω=1，∴T=2π；
∵x∈[0，

π

2

]，∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴-

2

2

≤sin（x-

π

4

）≤

2

2

，即-

2

≤2sin（x-

π

4

）≤

2

，
则函数在[0，

π

2

]上的最大值为

2

，最小值为-

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．