Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，对任意的n∈N^*点（n，）均在直线y=3x-2上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设是数列b_n=，T_n是其前n项和，求使T_n≤对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

解：（1）∵对任意的n∈N^*点（n，）均在直线y=3x-2上．
∴，∴S_n=3n²-2n；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5 ①；
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2=1，适合①式，
所以a_n=6n-5；
（2）由（1）知，b_n==，
∴T_n=[（1-）+（-）+…+（）]=
∴≤对所有n∈N^*都成立，只需≤
∴m≥10
∴满足要求的最小正整数m为10．
分析：（1）根据对任意的n∈N^*点（n，）均在直线y=3x-2上，可得S_n=3n²-2n，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，验证当n=1时，a₁=S₁，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，b_n==，求出和的最小值，即可求得满足要求的最小正整数m．
点评：本题考查了数列与函数的综合应用，用拆项法求数列前n项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题．